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Soient a un entier et p un nombre premier tel que f (x) = xp - a est irréductible. On note fⁿ (x) l’itéré n-ième de f (x). Nous étudions la monogénéité des corps de nombres définis par les racines de fⁿ (x) et donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une racine de fⁿ (x) génère une base entière de puissances pour chaque n ≥ 1. De plus, nous généralisons ces critères à un corps de nombres quelconque. Let a be an integer and p a prime so that f (x) = x p - a is irreducible. Write fⁿ (x) to indicate the n-fold composition of f (x) with itself. We study the monogenicity of number fields defined by roots of fⁿ (x) and give necessary and sufficient conditions for a root of fⁿ (x) to yield a power integral basis for each n ≥ 1. Further, we generalize these criteria to an arbitrary number field.

Soit m un entier positif et soit E une courbe elliptique sur Q telle que m | # E (Fp) pour un ensemble de densité 1 de nombres premiers p. En nous appuyant sur les travaux de Katz et Harron–Snowden, nous étudions la probabilité que m | # E (Q) tor: nous trouvons qu’elle est non nulle pour tout m∈{1, 2, … , 10}∪{12, 16} et nous la calculons explicitement pour m∈ {1, 2, 3, 4, 5, 7}. En complément, nous donnons un comptage asymptotique des courbes elliptiques avec une structure de niveau supplémentaire lorsque la courbe modulaire paramétrant ces structures provient du quotient par un groupe sans torsion de genre zéro. Let m be a positive integer and let E be an elliptic curve over Q with the property that m | # E (Fp) for a density 1 set of primes p. Building upon work of Katz and Harron–Snowden, we study the probability that m | # E(Q) tor: we find it is nonzero for all m∈ {1, 2, … , 10}∪{12, 16} and we compute it exactly when m∈{1, 2, 3, 4, 5, 7}. As a supplement, we give an asymptotic count of elliptic curves with extra level structure when the parametrizing modular curve arises from the quotient by a torsion-free group of genus zero.

Sans supposer la propriété de Northcott, nous donnons une majoration pour le nombre de «grandes solutions» d’un système spécial d’inégalités diophantiennes sur les courbes adéliques propres. Ce système est intéressant car il s’agit d’une version renforcée de l’inégalité de Roth pour les courbes adéliques. Without assuming the Northcott property we provide an upper bound on the number of “big solutions” of a special system of Diophantine inequalities over proper adelic curves. This system is interesting since it is a stronger version of Roth’s inequality for adelic curves.

Soient K une extension galoisienne finie de ℚ et ρ une représentation irréductible autoduale de Gal (K/ℚ) sur C. Si E est une courbe elliptique sur ℚ, notons W (E, ρ) le signe de l’équation fonctionnelle de la fonction L tordue L (s, E, ρ). Nous donnons un exemple où W (E, ρ) est égal à 1 pour toute courbe elliptique E sur ℚ bien que l’indice de Schur de ρ soit 1. La dimension de ρ est 4 et son image est un groupe d’ordre 32. Let K be a finite Galois extension of ℚ and let ρ be an irreducible self-dual complex representation of Gal (K/ℚ). For an elliptic curve E over ℚ let W (E, ρ) be the root number in the functional equation of L (s, E, ρ). We give an example where ρ is of dimension 4 and Schur index 1 but W (E, ρ) = 1 for all E over ℚ. The image of ρ has order 32.

Dans cet article, pour une extension abélienne K/k de corps de nombres de type CM, nous proposons une conjecture qui décrit complètement l’idéal de Fitting de la partie moins du dual de Pontryagin du groupe de classes de rayon T de K, pour un ensemble T d’idéaux premiers, comme Gal(K/k)module. Nous soulignons que nous considérons ici le groupe de classes au sens propre, sans laisser de côté les idéaux ramifiés (l’objet que nous étudions n’est pas le quotient du groupe de classes par le sous-groupe engendré par les classes des idéaux premiers ramifiés). Nous prouvons que notre conjecture est une conséquence de la conjecture de nombres de Tamagawa équivariante, et prouvons la version de notre conjecture en théorie d’Iwasawa. In this paper, for a CM abelian extension K/k of number fields, we propose a conjecture which describes completely the Fitting ideal of the minus part of the Pontryagin dual of the T-ray class group of K for a set T of primes as a Gal(K/k)-module. Here, we emphasize that we consider the full class group, and do not throw away the ramifying primes (the object we study is not the quotient of the class group by the subgroup generated by the classes of ramifying primes). We prove that our conjecture is a consequence of the equivariant Tamagawa number conjecture, and also prove the Iwasawa theoretic version of our conjecture.

Dans le présent article, nous établissons des bornes pour la taille de l’écart spectral pour les actions de groupe sur les espaces homogènes. Notre approche est basée sur l’estimation des normes des opérateurs de moyennage appropriés, et nous développons des techniques pour établir des bornes supérieures et inférieures pour de telles normes. Nous montrerons que ce problème analytique est étroitement lié au problème arithmétique de l’établissement de bornes sur la divergence de distribution pour les points rationnels sur les variétés de groupes algébriques. Comme application, nous montrons comment établir une borne effective pour la propriété (τ) des sous-groupes de congruence des treillis arithmétiques dans les groupes algébriques qui sont des formes de SL₂, en utilisant des estimations dans l’approximation diophantienne intrinsèque qui découlent de l’analyse de Heath-Brown des points rationnels sur des variétés quadratiques de dimension 3. In the present paper we establish bounds for the size of the spectral gap for group actions on homogeneous spaces. Our approach is based on estimating operator norms of suitable averaging operators, and we develop techniques for establishing both upper and lower bounds for such norms. We shall show that this analytic problem is closely related to the arithmetic problem of establishing bounds on the discrepancy of distribution for rational points on algebraic group varieties. As an application, we show how to establish an effective bound for property (τ) of congruence subgroups of arithmetic lattices in algebraic groups which are forms of SL₂, using estimates in intrinsic Diophantine approximation which follow from Heath-Brown’s analysis of rational points on 3-dimensional quadratic surfaces.

Sous certaines conditions naturelles, on montre que l’intersection de l’ensemble de points abéliens d’un sous-ensemble non-atypique d’une sousvariété X avec l’union des sous-groupes algébriques connexes de codimension au moins dim X dans un tore est finie, en généralisant les résultats de Ostafe, Sha, Shparlinski and Zannier (2017). Nous généralisons également leur théorème de structure pour de tels ensembles au cas où les sous-groupes algébriques ne sont pas nécesserement connexes et prouvons un résultat connexe pour les courbes dans le contexte de dynamique arithmétique. We show, under some natural conditions, that the set of abelian points on the non-anomalous subset of a closed irreducible subvariety X intersected with the union of connected algebraic subgroups of codimension at least dim X in a torus is finite, generalising results of Ostafe, Sha, Shparlinski and Zannier (2017). We also generalise their structure theorem for such sets when the algebraic subgroups are not necessarily connected, and obtain a related result in the context of curves and arithmetic dynamics.

The protein folding problem has been extensively studied for decades, and hundreds of thousands of protein structures have been solved. Yet, how proteins fold from a linear peptide chain to their unique 3D structures is not fully understood. With key clues having emerged unexpectedly from the field of nanoscience, a “Confined Lowest Energy Fragment” (CLEF) hypothesis was proposed. The CLEF hypothesis states that a protein chain can be divided into CLEFs, the semi-independent folding units, by a small number of key residues that form key long-range interactions. The native structure of a CLEF is the lowest energy state under the constraints of the key long-range interactions, but the native structure of the whole protein is not necessary the lowest energy state as Anfinsen’s thermodynamic hypothesis suggested. The CLEF hypothesis proposes a unified CLEF mechanism for protein folding, basically a two-step process. In the first step, the favorable enthalpy of CLEFs for native structures quickly brings those residues for the key long-range interactions together, forming intermediates corresponding to the so-called hydrophobic collapse. In the second step, those collapsed key residues shuffle for the right combination to form the native key long-range interactions. The CLEF hypothesis provides a simple solution to all protein folding paradoxes, and proposes a “CLEF Age” or “Stone Age” for the prebiotic evolution of proteins.

Les surfaces abéliennes principalement polarisées à multiplications réelles (RM) par un anneau donné sont parametrisées par les points d’une surface modulaire de Hilbert. Si une courbe de genre 2 à RM est définie sur ℚ, alors elle correspond, via sa jacobienne, à un point rationnel sur la surface modulaire de Hilbert appropriée. Cependant, l’implication réciproque est fausse en générale. Dans le cas de RM par l’anneau des entiers de ℚ(√5), nous donnons une description générique simple des points rationnels de la variété des modules correspondant à des courbes rationnelles, ainsi que des équations de Weierstrass associées. Pour ce faire, nous fournissons quelques techniques pour réduire des formes quadratiques définies sur des anneaux de polynômes. Principally polarized abelian surfaces with prescribed real multiplication (RM) are parametrized by certain Hilbert modular surfaces. Thus rational genus 2 curves with RM correspond to rational points on Hilbert modular surfaces via their Jacobians, but the converse is not true. We give a simple generic description of which rational moduli points correspond to rational curves, as well as give associated Weierstrass models, in the case of RM by the ring of integers of ℚ(√5). To prove this, we provide some techniques for reducing quadratic forms over polynomial rings.

Baker et Rumely ont défini la notion de fonction d’Arakelov–Green sur la droite projective analytifiée au sens de Berkovich et ont établi un principe de minimisation de l’énergie pour ces fonctions. Nous étendons leur définition et démontrons leur principe de minimisation de l’énergie pour les courbes projectives lisses générales. Comme application, nous obtenons une généralisation et une nouvelle démonstration d’un résultat d’équidistribution de Baker et Petsche. Baker and Rumely defined a notion of Arakelov–Green’s functions on the Berkovich analytification of the projective line and established an Energy Minimization Principle. We extend their definition and show their Energy Minimization Principle for general smooth projective curves. As an application we get a generalization and a different proof of an equidistribution result by Baker and Petsche.